Вейвлет-анализ

Для анализа одномерных сигналов (сечений и временных разверток) полезен инструмент непрерывного вейвлет-преобразования. Это один из наиболее популярных методов частотно-временного анализа сигналов. Вейвлет-преобразование позволяет отследить изменения спектрального состава сигнала во времени или пространстве. Поэтому этот метод особенно полезен для анализа переходных, непериодических или нестационарных составляющих сигнала.

Преимущество вейвлет-преобразования по сравнению с преобразованием Фурье в том, что существует широкое разнообразие базисных вейвлет-функций (т.н. материнские вейвлеты), каждая из которых может наилучшим образом подходить для анализа некоторых конкретных задач. Тогда как преобразование Фурье предоставляет только одну базисную функцию — синусоиду. В программе QAVIS используются два наиболее популярных материнских вейвлета: комплекснозначный вейвлет Морле и вещественный вейвлет Сомбреро (Mexican Hat).

В программе QAVIS реализован также механизм вейвлет-фильтрации сигналов.

Математическое описание

Вейвлеты — это хорошо локализованные солитоноподобные волны. На их основе можно сконструировать базис пространства квадратично интегрируемых функций. Сделаем это с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета psi(t) с произвольными значениями базисных параметров — масштабного коэффициента a и параметра сдвига b.

Не сложно убедиться, что заданный таким образом базис нормирован, если нормирован вейвлет . Запишем на основе полученного базиса интегральное вейвлет преобразование:

Здесь (*) обозначает комплексное сопряжение. Обратное вейвлет-преобразование задается следующей формулой:

-нормализующий коэффициент:

Здесь - это Фурье-образ вейвлета.

В программе QAVIS масштабы a и сдвиги b задаются дискретно. Масштабы изменяются в указанном пользователе диапазоне по линейному или логарифмическому закону. Сдвиги задаются линейно с шагом равным одному пикселу для сечений или одному временному отсчету для временной развертки.

Для более подробной информации о непрерывном вейвлет-преобразовании рекомендуем обратиться, например, к статье Н.М.Астафьевой "Вейвлет анализ:основы теории и примеры применения".

Вейвлетограмма

Спектр одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Для его отображения используется цветовая карта, позволяющая отследить изменение интенсивности амплитуд вейвлет-преобразования при различных масштабах и во времени.

На этих рисунках синим цветом обозначены отрицательные значения , красным — положительные. Ясно, что значение амплитуды вейвлет-преобразования в точке тем больше (по абсолютной величине), чем сильнее корреляция между вейвлетом данного масштаба и поведением сигнала в окрестности точки .

Как говорилось выше, вейвлет-преобразование разлагает анализируемый сигнал на составляющие его волны разного масштаба и, кроме того, дает локализацию волн во времени или пространстве. Горизонтальное сечение вейвлетограммы при заданном масштабе a демонстрирует изменение компоненты выбранного масштаба со временем. Вертикальное сечение картины коэффициентов в некоторый момент времени демонстрирует поведение процесса в окрестности выбранного момента времени или точки сечения.

Если необходимо произвести вейвлет-фильтрацию сигнала, то в поле вейвлетограммы нужно мышью выделить диапазон масштабов, на которые нужно оставить в сигнале. При этом график отфильтрованного сигнала будет построен на соответствующей осцилограмме. Примеры использования этого инструменты приведены в разделах Сечение и Временная развертка